Calienta el aceite a fuego medio y agrega la mantequilla para que se derrita. Incorpora las cebollas y cocina durante 15 minutos, sin dejar de mover.
Añade el azúcar y un poco de sal. Reduce el fuego, cocina durante 30 minutos más o hasta que la cebolla se vea dorada; mueve de vez en cuando.
Agrega la harina y cocina por 3 minutos.
Vierte el caldo de pollo hirviendo, sube el fuego a alto y cuece por 35 minutos, a partir del primer hervor; mueve ocasionalmente y salpimienta al gusto.
Corta las baguettes en rebanadas y espolvorea encima el queso parmesano y el ajo.
Sirve la sopa caliente y acompaña con las rebanadas de pan.